Imagine que você só pode se mover para a esquerda e direita em um fio fino. Esse é o mundo do eixo real. Se quiser pular para cima, o fio não consegue sustentá-lo. Introduzirnúmeros complexosé como adicionar uma nova dimensão ao seu mundo. Cada número complexo da forma $z = a + bi$ já não é apenas um ponto no eixo numérico, mas sim um par coordenado $(a, b)$ no plano ou um vetor emanando da origem. Essa correspondência perfeita entre 'número' e 'forma' é uma das maiores conquistas da história da matemática.
Definição algébrica e correspondência geométrica dos números complexos
No segundo volume obrigatório, aprendemos sobre o sistema de números complexos. Os números complexos são compostos porparte realeparte imagináriacomposta pela parte real e pela parte imaginária, com sua forma algébrica padrão sendo $z = a + bi$ ($a, b \in \mathbb{R}$).
Para entender intuitivamente os números complexos, criamosplano complexo:
- eixo real: corresponde ao eixo $x$, representando a parte real do número complexo.
- eixo imaginário: corresponde ao eixo $y$, representando a parte imaginária do número complexo.
- ponto e número complexo: o número complexo $z = a + bi$ corresponde unicamente ao ponto $Z(a, b)$.
- vetor e número complexo: o número complexo $z = a + bi$ corresponde unicamente ao vetor $→ OZ$ no plano.
O módulo de um número complexo $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ tem significado geométrico como a distância do ponto $Z$ até a origem no plano complexo. Já $|z_1 - z_2|$ representa a distância entre dois pontos.
$$z = a + bi \iff Z(a, b) \iff \vec{OZ}$$